Halaman
37Persamaan Garis LurusDalam suatu perlombaan balap sepeda, seorang pembalap mengayuh sepedanya dengan kecepatan tetap. Setiap 5 detik, pembalap tersebut menempuh jarak 12 meter. Berapa jarak yang ditempuh pembalap setelah 1 jam? Dalam fisika, gerak yang dialami oleh sepeda tersebut dinamakan Gerak Lurus Beraturan (GLB). GLB adalah gerak benda yang melintasi garis lurus dan dalam selang waktu yang sama benda menempuh perpin- dahan yang sama pula.Perhitungan untuk kasus tersebut dapat diterjemahkan ke dalam koordinat Cartesius. Dalam koordinat tersebut, lamanya waktu dan jarak tempuh akan membentuk suatu garis lurus. Setelah ditentukan persamaan garis lurusnya, dapat ditentukan penyelesaian untuk kasus di atas. Sebenarnya, apa yang dimaksud dengan garis lurus? Bagaimana dengan sifat-sifat dan perhitungannya? Pelajarilah materi bab ini dengan saksama. A. Pengertian Persamaan Garis LurusB. GradienC. Menentukan Persamaan Garis lurus3BabPersamaan3BaSumber:ScienceEncylopedia,1997
Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII38A. Pengertian Persamaan Garis LurusSebelum memahami pengertian persamaan garis lurus, ada baiknya kamu mengingat kembali materi tentang koordinat Cartesiuspersamaan garis lurus selalu digambarkan dalam koordinat Cartesius. Untuk itu, pelajarilahuraian berikut. 1. Koordinat CartesiusPada bab sebelumnya, kamu telah mengenal tentang bidang Cartesius. Coba kamu perhatikan Gambar 3.1 dengan seksama. Gambar tersebut menunjukkanbidang koordinat Cartesius yang memiliki sumbu mendatar (disebut sumbu-x) dan sumbu tegak (disebut sumbu-y). Titik potong kedua sumbu tersebut dinamakan titik asal atau titik pusat koordinat. Pada Gambar 3.1,titik pusat koordinat Cartesius ditunjukkan oleh titik O (0, 0). Sekarang, bagaimana menggambar titik atau garis pada bidang koordinat Cartesius?Gambar 3.1 : Bidang koordinat Cartesius1. Misalkan fungsi f: x → 3x + 5 mempunyai daerah asal A = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3}.a. Tentukan daerah hasil fungsi f.b. Nyatakan dalam himpunan pasangan terurut.c. Gambarlah grafik fungsi f.d. Bagaimana bentuk grafik fungsi f ?Uji Kompetensi Awal–11234–14Oyx–23–32–41–2–3–4a. Menggambar Titik pada Koordinat CartesiusSetiap titik pada bidang koordinat Cartesius dinyatakan dengan pasangan berurutan x dan y, di mana x merupakan koordinat sumbu-x (disebut absis) dan y merupakan koordinat sumbu-y (disebut ordinat). Jadi, titik pada bidang koordinat Cartesius dapat dituliskan (x, y). Pada Gambar 3.2 , terlihat ada 6 buah titik koordinat pada bidang koordinat Cartesius. Dengan menggunakan aturan penulisan titik koordinat, keenam titik tersebut dapat dituliskan dalam bentuk sebagai berikut.2. Diketahui fungsi f(x) = 2x – 3. Tentukan nilai f(x) untuk: a. x = 2 b. x = 0 c. x = 33. Gambarkan grafik fungsi dari soal nomor 2.Sebelum mempelajari materi pada bab ini, kerjakan soal-soal berikut.
Persamaan Garis Lurus39A (x, y) →A (2, 1)B (x, y) →B (–2, 3)C (x, y) →C (–3, –1)D (x, y) →D (4, –3)E (x, y) →E (3, 0)F (x, y) →F (0, 2)Gambar 3.2 : Enam titik koordinat pada bidang Cartesius.Diketahui titik-titik pada bidang koordinat Cartesius sebagai berikut. a. (10, –5) c. (–7, –3) e. (–4, 9)b. (2, 8) d. (6, 1)Tentukan absis dan ordinat dari masing-masing titik tersebut.Jawab :a. Dari titik (10, –5) diperoleh absis: 10, ordinat: –5b. Dari titik (2, 8) diperoleh absis: 2, ordinat: 8c. Dari titik (–7, –3) diperoleh absis:–7, ordinat: –3d. Dari titik (6, 1) diperoleh absis: 6, ordinat: 1e. Dari titik (–4, 9) diperoleh absis:–4, ordinat: 9Gambarlah titik-titik berikut pada bidang koordinat Cartesius.a. P (–4,–2) c. R (0, –3) e. T (3, 3)b. Q (–2, 0) d. S (1, –2)Jawab :ui titiktii titiktiContohSoal3.1lhtitiktContohSoal3.2–11234–11234–2–3–4–2–3–4yxT (3, 3)Q (–2, 0)P (–4, –2)R (0, –3)S (1, –2)–110234–11234–2–3–4–2–3–4CBAFEDRene Descartes(1596–1650)Rene Descartes adalah seorang matematikawan berkembangsaan Prancis. Ia adalah orang yang pertama kali mem-perkenalkan metode penulisan titik yang diwakili oleh sepasang bilangan-bilangan yang merupakan jarak-jarak dari masing-masing sumbu. Metode penulisan titik seperti ini dinamakan koordinat cartesius.Sumber: Ensiklopedia Matematika dan Peradaban Manusia, 2002SekilasMatematikayx
Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII40b. Menggambar Garis pada Koordinat Cartesius Kamu telah memahami bagaimana menggambar titik pada bidang koordinat Cartesius. Sekarang bagaimana menggambar garis lurus pada bidang yang sama? Coba perhatikan Gambar 3.3–110234–11234–2–3–4–2–3–4PQ0UyxRST(a)xyk–11234–11234–2–3–4–2–3–4(b)Perlu diingat, garis lurus adalah kumpulan titik-titik yang letaknya sejajar. Dari Gambar 3.3(a) , terlihat bahwa titik-titik P, Q, R, S, T, dan U memiliki letak yang sejajar dengan suatu garis lurus, misalkan garis k,seperti yang digambarkan pada Gambar 3.3(b). Sebuah garis lurus dapat terbentuk dengan syarat sedikitnya ada dua titik pada bidang koordinat Cartesius.1. Tentukan apakah titik-titik berikut membentuk garis lurus atau tidak?a. A(0, 0), B(1, 1), C(2, 2) c. G(–2, 1), H(1, 0), I(4, 3)b. D(2, –2), E(1, –1), F(0, 0) d. J(2, –2), K(3, 0), L(1, 1)2. Gambarkan garis lurus yang melalui titik P(3, –3) dan Q(–3, 3).Jawab :1. a. b.tkContohSoal3.3Gambar 3.3 : Garis pada Bidang Koordinat Cartesius.xyCBJadi, titik-titik A, B, dan Cmembentuk garis lurusJadi, titik-titik D, E, dan Fmembentuk garis lurusA0–11234–11234–2–3–4–2–3–4–3–4xyEDF0–11234–11234–2–3–4–2Diketahui lima titik koordinat, yaitu P(–4, 3), Q(a, 1), R(1, –2), S(b, 2), dan T(4, c). Jika kelima titik itu membentuk garis lurus, tentukan nilai a, b, dan c.Problematika
Persamaan Garis Lurus41Gambarlah garis dengan persamaan:a. x + y = 4,b. x = 2yJawab :a. Langkah pertama adalah menentukan nilai x dan y yang memenuhi persamaan x + y = 4.Misalkan: x = 0 maka 0 + y = 4 ⇒y = 4, sehingga diperoleh titik koordinat (0, 4),x = 3 maka 3 + y = 4 ⇒ y = 1, sehingga diperoleh titik koordinat (3, 1).lhiContohSoal3.4 c. d.–3–4xyIH0G–11234–11234–2–3–4–2–3–4xy–11234–11234–2–3–4–22. Garis lurus yang melalui titik P(3, –3) dan Q(–3, 3) dapat digambar sebagai berikut.–3–4xyQ0P–11234–11234–2–3–4–22. Menggambarkan Persamaan Garis Lurus Setelah kamu mempelajari materi sebelumnya, apa yang dapat kamu ketahui tentang persamaan garis lurus? Persamaan garis lurus adalah suatu persamaan yang jika digambarkan ke dalam bidang koordinat Cartesius akan membentuk sebuah garis lurus. Cara menggambar persamaan garis lurus adalah dengan menentukan nilai x atau y secara acak. Perlu diingat bahwa dua titik sudah cukup untuk membuat garis lurus pada bidang koordinat Cartesius. Untuk lebih jelasnya, pelajari Contoh Soal 3.4 Jadi, titik-titik G, H, dan Itidak membentuk garis lurusJadi, titik-titik J, K, dan Ltidak membentuk garis lurusLKJ0Pierre de Fermat(1601–1665)Pierre de Fermat adalah seorang pengacara asal Prancis yang menggemari matematika. Ia adalah orang pertama yang men-gungkapkan bahwa persamaan-persamaan dapat ditunjukkan sebagai bentuk-bentuk atau bangun-bangun jika persamaan tersebut diletakkan pada sebuah xdan sumbu-ytersebut memiliki titik asal O, tempat sumbu-sumbu tersebut berpotongan, yaitu di titik (0, 0).Sumber: Ensiklopedia Matematika dan Peradaban Manusia, 2002SekilasMatematika
Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII421. Tentukan absis dan ordinat dari titik-titik koordinat berikut.a. A(2, 3) d. D(0, 8)b. B(–2, –3) e. E(–5, 0)c. C(4, –7)2. Perhatikan gambar bidang koordinat Cartesius di samping, kemudian tentukan titik koordinat dari masing-masing titik tersebut.A (..., ...) F (..., ...) B (..., ...) G (..., ...) C (..., ...) H (..., ...) D (..., ...) I (..., ...)E (..., ...) J (..., ...)Uji Kompetensi 3.1–3–4xy–11234–11234–2–3–4–2Kemudian, dari dua titik koordinat tersebut dapat digambarkan garis lurus seperti berikut.b. Seperti sebelumnya, tentukan dahulu nilai x atau y yang memenuhi persamaan x = 2y.Misalkan: x = 0 maka 0 = 2y⇒y = 0, sehingga diperoleh titik koordinat (0, 0),x = 4 maka 4 = 2y⇒y = 2, sehingga diperoleh titik koordinat (4, 2)Kedua titik tersebut dapat digambar menjadi sebuah garis lurus sebagai berikut.–3–4xy–112340–11234–2–3–4–2–3–4–5xIJACDBFEGHy–112345–11234–2–3–4–2Kerjakanlah soal-soal berikut.00Untuk memudahkan menggambar persamaan garis lurus, tentukan titik yang memotong sumbu-ydengan cara memisalkan x = 0. Kemudian, tentukan titik yang memotong sumbu-x dengan cara memisalkan y = 0.UUPlus +
Persamaan Garis Lurus433. Dalam satu bidang koordinat Cartesius, gambarkan titik-titik berikut ini.a. P(5, –2) d. S(3, 5)b. Q(–3, –1) e. T(0, –4)c. R(–4, 3)4. Buatlah garis lurus pada bidang koordinat Cartesius yang melalui titik-titik berikut. a. A(0, 0) dan B(1, 3) b. C(2, 1) dan D(0, 3) c. E(–3, 2) dan F(0, –1)d. G(4, –5) dan H(–2, –2)e. I(3, 0) dan J(0, 2) 5. Gambarkan garis yang memiliki persamaan garis berikut. a. x – y = 2 d. x = 12yb. y = 4xe. y = 2x + 1 c. x + 3 = yB. GradienCoba kamu perhatikan dengan saksama Gambar 3.4 berikut ini.–3–4–5–6x0CBAFEDy–1123456–11234–2–3–4–2Gambar 3.4Garis lurus pada bidang koordinat CartesiusDari Gambar 3.4 terlihat suatu garis lurus pada bidang koordinat Cartesius. Garis tersebut melalui titik A(–6, –3), B(–4, –2), C(–2, –1), D(2, 1), E(4, 2), dan F(6, 3). Perbandingan antara ordinat (y) dan absis (x) untuk masing-masing titik tersebut adalah sebagai berikut. • Titik A (–6, –3) ⇒––3612=• Titik D (2, 1) ⇒1212=• Titik B (–4, –2) ⇒––2412=• Titik E (4, 2) ⇒2412=• Titik C (–2, –1) ⇒––1212=• Titik F (6, 3) ⇒3612=Perhatikan perbandingan ordinat dengan absis untuk setiap titik tersebut. Semua titik memiliki nilai perbandingan yang sama, yaitu 12. Nilai tetap atau konstanta dari perbandingan ordinat dan absis ini disebut sebagai gradien.Biasanya gradien dilambangkan dengan m. Apa sebenarnya yang dimaksud dengan gradien? Coba kamu pelajari uraian berikut ini.1. Pengertian Gradien Pernahkah kamu mendaki gunung? Jika ya, kamu pasti akan menyusuri lereng gunung untuk dapat sampai ke puncak. Lereng gunung memiliki kemiringan tanah yang tidak sama, ada yang curam ada juga yang landai. Sama halnya dengan garis yang memiliki kemiringan tertentu. Tingkat kemiringan garis
Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII44inilah yang disebut gradien. Perhatikan kembali garis lurus pada Gambar 3.4, berdasarkan perbandingan ordinat dan absis maka tingkat kemiringan atau gradien garis tersebut adalah 12. 2. Perhitungan Gradien Ada berbagai cara untuk menghitung gradien dari suatu persamaan garis. Hal ini bergantung pada letak titik koordinat dan bentuk persamaan garis yang diberikan. Berikut ini akan diuraikan cara menghitung gradien berdasarkan titik koordinat atau bentuk persamaan garis. a. Menghitung Gradien pada Persamaan Garis y = mxSeperti yang telah dijelaskan sebelumnya, gradien suatu garis dapat ditentu-kan melalui perbandingan antara ordinat dan absis sehingga dapat ditulis sebagai berikut.Gradien = ordinatabsism =yxy = mxDari uraian ini terlihat bahwa nilai gradien dalam suatu persamaan garissama dengan besar nilai konstanta m yang terletak di depan variabel x, dengan syarat, persamaan garis tersebut diubah terlebih dahulu ke dalam bentuk y = mx. Untuk lebih jelasnya, pelajarilah Contoh Soal 3.5Tentukanlah gradien dari persamaan garis berikut.a. y = 2x d. 2x + 3y = 0 b. y = 3x e. 4x – 6y = 0c. x = 2y Jawab :a. Persamaan garis y = 2x sudah memenuhi bentuk y = mx. Jadi, diperoleh m = 2.b. Persamaan garis y = –3x sudah memenuhi bentuk y = mx. Jadi, diperoleh m = –3.c. Persamaan garis x = 2y diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mxsehinggax = 2yy = x2y = 12xPersamaan garis y = 12x sudah memenuhi bentuk y = mx. Jadi, diperoleh m = 12.d. Persamaan garis 2x + 3y = 0 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mxsehingga 2x +3y = 0 3y = –2xy = –23xy = –23xlhdContohSoal3.5Gambar di atas memperlihatkan sebuah tangga dengan kemiringan tertentu. Tinggi ujung tangga pada tembok ke lantai adalah 4 m, sedangkan jarak ujung tangga pada lantai ke tembok adalah 3 m. Berapakah kemiringan tangga itu?ProblematikaSumber: Dokumentasi Penulis⎧⎩⎪⎧⎩⎪⎧⎩⎪⎧⎩⎪⎧⎩⎪⎧⎩⎪
Persamaan Garis Lurus45Tentukanlah gradien dari persamaan garis berikut.a. y = 4x + 6 d. 3y = 6 + 9xb. y = –5x – 8 e. 2 + 4y = 3x + 5c. 2y = x + 12 Jawab :a . Persamaan garis y = 4x + 6 sudah memenuhi bentuk y = mx + c. Jadi, nilai m = 4.b . Persamaan garis y = –5x – 8 sudah memenuhi bentuk y = mx + c. Jadi, nilai m = –5.c. Persamaan garis 2y = x + 12 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx + csehingga2y = x +12y = x+ 122y = 12x + 6 Jadi, nilai m = 12.d . Persamaan garis 3y = 6 + 9x diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx + csehingga3y = 6 + 9xy = 693+xy = 2 + 3xy = 3x + 2 Jadi, nilai m = 3.e. Persamaan garis 2 + 4y = 3x +5 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx + csehingga2 + 4y = 3x + 5 4y = 3x + 5 – 2 4y = 3x + 3y = 334x+y = 34x + 34Jadi, nilai m = 34lhdContohSoal3.6Persamaan garis y = –23x sudah memenuhi bentuk y = mx. Jadi, diperoleh m = –23.e. Persamaan garis 4x – 6y = 0 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mxsehingga 4x – 6y = 0 6y = 4x y = 46xy = 23xy = 23xPersamaan garis y = 23x sudah memenuhi bentuk y = mx. Jadi, diperoleh m =23b. Menghitung Gradien pada Persamaan Garis y = mx + cSama halnya dengan perhitungan gradien pada persamaan garis y = mx, perhitungan gradien pada garis y = mx + c dilakukan dengan cara menentukan nilai konstanta di depan variabel x. Untuk lebih jelasnya, coba kamu perhatikan Contoh Soal 3.6
Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII46c. Menghitung Gradien pada Persamaan Garis ax + by + c = 0Sama seperti sebelumnya, gradien pada persamaan garis ax + by + c = 0 dapat ditentukan dengan cara mengubah terlebih dahulu persamaan garis tersebut ke dalam bentuk y = mx + c. Kemudian, nilai gradien diperoleh dari nilai konstanta m di depan variabel x. Perhatikan Contoh Soal 3.7 Tentukanlah gradien dari persamaan garis berikut.a. x + 2y + 6 = 0 d. 4x + 5y = 9 b. 2x – 3y – 8 = 0 e. 2y – 6x + 1 = 0c. x + y – 10 = 0Jawab :a . Persamaan garis x + 2y + 6 = 0 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx + c sehinggax + 2y + 6 = 0 2y = –x –6y = ––x62y = -12x – 3 Jadi, nilai m = –12.b . Persamaan garis 2x – 3y – 8 = 0 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx + c sehingga2x – 3y – 8 = 0 –3y = –2x + 8 3y = 2x – 8y = 283x–y = 23x – 83Jadi, nilai m = 23.c. Persamaan garis x + y –10 = 0 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx + csehinggax + y –10 = 0y = –x + 10 Jadi, nilai m = –1.d . Persamaan garis 4x + 5y = 9 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx + csehingga4x + 5y = 95y = 9 – 4xy = 945-xy = 95 – 45x y = –45x + 95Jadi, nilai m = –45.e. Persamaan garis 2y – 6x + 1 = 0 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx + csehingga2y – 6x + 1 = 02y = 6x – 1y = 612x–y = 62x – 12y = 3x – 12Jadi, nilai m = 3lhdContohSoal3.7Mencari gradien garis dengan persamaanax + by + c = 0 adalah dengan menghitungnilai –abMeMePlus +
Persamaan Garis Lurus47d. Menghitung Gradien pada Garis yang Melalui Dua Titik Coba kamu perhatikan Gambar 3.5 berikut. DEF4 cm2 cmGHI3 cm2 cmBA3 cm4 cmC(a)(b)(c)Gambar 3.5 menunjukkan tiga buah segitiga ABC, DEF, dan GHI yang memiliki sisi miring dengan tingkat kemiringan atau gradien yang berbeda-beda. Dengan menggunakan perbandingan ordinat dan absis, gradien untuk masing-masing segitiga dapat dihitung sebagai berikut.• Segitiga ABC → Gradien AC = ordinatabsis4 cm3 cm===BCAB43• Segitiga DEF → Gradien DF = ordinatabsis2 cm4 cm===EFDE12• Segitiga GHI → Gradien GI = ordinatabsis3 cm2 cm===HIGH32–3–4–5–6xRQ0Px2 – x1y2 – y1y–11234567–1123456–2–3–4–2Sekarang, perhatikan Gambar 3.6 . Gambar tersebut menunjukkan sebuah garis lurus pada bidang koordinat yang melalui titik P dan R. Untuk mencari gradien garis tersebut, kamu tinggal menentukan gradien PR pada segitiga PQR. Dengan menggunakan perbandingan ordinat dan absis, akan diperoleh gradien garis yang melalui titik P dan R, yaitu: Gradien PR = ordinatabsis = QRPQ = yyxx2121–– = 6371–– = 36 = 12Gambar 3.5 : Tiga buah segitiga Gambar 3.6 : Menentukan gradien
Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII48Tentukanlah gradien garis yang melalui titik-titik koordinat berikut.a. A(2, 2) dan B(4, 4)b. C(3, 1) dan D(2, 4)c. E(–2, –3) dan F(–4, 2)Jawab :a. Untuk titik A(2, 2) maka x1 = 2, y1 = 2.Untuk titik B(4, 4) maka x2 = 4, y2 = 4.m = yyxx21214242221––––===Jadi, gradiennya adalah 1. b. Untuk titik C(3, 1) maka x1 = 3, y1 = 1.Untuk titik D(2, 4) maka x2 = 2, y2 = 4.m = yyxx21214123313––––––= ==Jadi, gradiennya adalah –3. c. Untuk titik E(–2, –3) maka x1 = –2, y1 = –3.Untuk titik F(–4, 2) maka x2 = –4, y2 = 2.m = yyxx212123425252––– (– )– – (– )––===Jadi, gradiennya adalah –52Perhatikan garis pada bidang koordinat berikut. Tentukan:a. gradien garis k,b. gradien garis l,c. gradien garis m.Jawab :a. Dari gambar di samping kanan, terlihat bahwa garis k melalui titik (0, 0) dan (2, 1). Untuk titik (0, 0) maka x1 = 0, y1 = 0Untuk titik (2, 1) maka x2 = 2, y2 = 1m = yyxx2121102012––––==Jadi, gradien garis k adalah 12. ContohSoal3.8kiContohSoal3.9–3–4xklmy–1102 3 45–112345–2–3–4–2Jadi, gradien garis yang melalui P(1, 3) dan R(7, 6) pada Gambar 3.6 adalah 12. Dari uraian tersebut diperoleh rumus umum untuk mencari gradien pada garis yang melalui dua titik, sebagai berikut.m = yyxx2121––Untuk lebih jelasnya, perhatikan Contoh Soal 3.8 berikut ini.Sebuah segitiga siku-siku terbentuk dari 3 titik koordinat, yaitu: A(a, 5), B(–2, 3), dan C(3, b). Tentukan kemungkinan segitiga yang terbentuk, kemudian cari gradiennya. Petunjuk: kerjakan dengan cara menggambarCerdas Berpikir
Persamaan Garis Lurus493. Sifat-Sifat Gradien Ada beberapa sifat gradien yang perlu kamu ketahui, di antaranya adalah gradien garis yang sejajar dengan sumbu-x, gradien garis yang sejajar dengan sumbu-y, gradien dua garis yang sejajar, dan gradien dua garis yang saling tegak lurus. Berikut ini akan diuraikan sifat-sifat gradien tersebut. a. Gradien Garis yang Sejajar dengan Sumbu-xPerhatikan gambar berikut.–3–4–5xBkAy–1102345–11234–2–3–4–2Pada Gambar 3.7 , terlihat garis k yang melalui titik A(–1, 2) dan B(3, 2). Garis tersebut sejajar dengan sumbu-x. Untuk menghitung gradien garis k, gunakan cara sebagai berikut. Untuk titik A(–1, 2) maka x1 = –1, y1 = 2.Untuk titik B(3, 2) maka x2 = 3, y2 = 2.m = yyxx21222231040–––– (– )=== Coba kamu periksa titik-titik lain pada garis k dan hitunglah gradiennya. Apakah nilai gradiennya sama dengan 0? Uraian tersebut memperjelas tentang gradien garis yang sejajar dengan sumbu-x, yaitu sebagai berikut.b. Dari gambar terlihat bahwa garis l melalui titik (–1, 1) dan (0, –1).Untuk titik (–1, 1) maka x1 = –1, y1 = 1.Untuk titik (0, 1) maka x2 = 0, y2 = –1.m = yyxx21211101212––––– (– )––===Jadi, gradien garis l adalah –2. c. Dari gambar terlihat bahwa garis m melalui titik (4, 0) dan (1, 3).Untuk titik (4, 0) maka x1 = 4, y1 = 0.Untuk titik (1, 3) maka x2 = 1, y2 = 3.m = yyxx21213014331––––––= ==Jadi, gradien garis m adalah –1█Jika garis sejajar dengan sumbu- x maka nilai gradiennya adalah nol.Gambar 3.7 : Garis yang melalui 2 titik dan sejajar sumbu-x.
Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII50Pada Gambar 3.8 , garis l yang melalui titik C(1, 3) dan D(1, –1). letaknya sejajar dengan sumbu-y. Gradien garis tersebut adalah sebagai berikut.Untuk titik C(1, 3) maka x1 = 1, y1 = 3.Untuk titik D(1, –1) maka x2 = 1, y2 = –1.m = yyxx2121131140––-=--=-=∼Perhitungan di atas, memperjelas sifat gradien berikut.–3–4–5xlkBADCy–101 23 45–11234–2–3–4–2c. Gradien Dua Garis yang Sejajar Sekarang coba kamu perhatikan Gambar 3.9 . –4–3–4–5xlCDy–10 12345–11234–2–3–2b. Gradien garis yang sejajar dengan sumbu-yPerhatikan gambar berikut.Jika garis sejajar dengan sumbu-y maka garis tersebut tidak memiliki gradien.Garis k dan l merupakan dua garis yang sejajar. Bagaimana gradien kedua garis tersebut? Perhatikan uraian berikut. • Garis k melalui titik A(–2, 0) dan B(0, 2).Untuk titik A(–2, 0) maka x1 = –2, y1 = 0.Untuk titik B(0, 2) maka x2 = 0, y2 = 2.mA B = yyxx21212002221--===–– (– )Gambar 3.8 : Garis l yang melalui titik C dan D dan sejajar sumbu-y. Gambar 3.8 : Garis k dan l yang sejajar.
Persamaan Garis Lurus51–3–4–5xlkBADCy–1102 3 45–11234–2–3–4–2Setiap garis yang sejajar memiliki gradien yang sama.• Garis l melalui titik C(0, –1) dan D(1, 0).Untuk titik C(0, –1) maka x1 = 0, y1 = –1.Untuk titik D(1, 0) maka x2 = 1, y2 = 0.mCD = yyxx21220110111--=--==()–Dari uraian tersebut terlihat bahwa garis k dan l memiliki gradien yang sama. d. Gradien Dua Garis yang Tegak Lurus Coba kamu perhatikan Gambar 3.10 . Pada gambar tersebut terlihat garis ktegak lurus dengan garis l.Gradien kedua garis tersebut dapat dihitung dengan cara sebagai berikut. • Garis k melalui titik C(3, 0) dan D(0, 3). Untuk titik C(3, 0) maka x1 = 3, y1 = 0.Untuk titik D(0, 3) maka x2 = 0, y2 = 3.mCD = yyxx21213003331--=--=-=-. • Garis l melalui titik A(–1, 0) dan B(0, 1). Untuk titik A(–1, 0) maka x1 = –1, y1 = 0.Untuk titik B(0, 1) maka x2 = 0, y2 = 1.mA B = yyxx21211001111--===–– (– )Hasil kali kedua gradien tersebut adalah mA B × mCD = 1 × –1 = –1Uraian tersebut memperjelas hal berikut: Hasil kali antara dua gradien dari garis yang saling tegak lurus adalah –1.Untuk lebih jelasnya, coba kamu perhatikan dan pelajari contoh-contoh soal berikut.Gambar 3.10 : Garis k dan l yang saling tegak lurus.
Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII52Tentukan apakah garis lurus berikut sejajar dengan sumbu-x atau sumbu-y.a. Garis k melalui A(2, –5) dan B(2, 4)b. Garis l melalui C(3, 1) dan D(–2, 1)c. Garis m melalui E(1, 4) dan F(0, 4)Jawab :a. Gradien garis k, yaitu:Dari titik A(2, –5) maka x1 = 2, y1 = –5Dari titik B(2, 4) maka x2 = 2, y2 = 4mA B = yyxx2121452290--===– (– )–∼Jadi, garis k sejajar dengan sumbu-y. b. Gradien garis l, yaitu:Dari titik C(3, 1) maka x1 = 3, y1 = 1Dari titik D(–2, 1) maka x2 = –2, y2 = 1mCD = yyxx21211123050--==-=–––Jadi, garis l sejajar dengan sumbu-x.c. Gradien garis m, yaitu:Dari titik E(1, 4) maka x1 = 1, y1 = 4Dari titik F(0, 4) maka x2 = 0, y2 = 4mEF = yyxx21214401010--==-=––Jadi, garis m sejajar dengan sumbu-xkhContohSoal3.10Tentukan apakah kedua garis berikut sejajar atau saling tegak lurus?a. Garis p yang melalui A(4, 2) dan B(0, 0) dan garis q yang melalui C(–2, 4) dan D(0, 0). b . Garis r yang melalui E(2, –3) dan F(8, 6) dan garis s yang melalui G(4, 6) dan H(0, 0). Jawab :a. • Mencari gradien garis p, yaitu: Untuk titik A(4, 2) maka x1 = 4, y1 = 2. Untuk titik B(0, 0) maka x2 = 0, y2 = 0. mA B = yyxx212102042412--==--=––• Mencari gradien garis q, yaitu: Untuk titik C(–2, 4) maka x1 = –2, y1 = 4. Untuk titik D(0, 0) maka x2 = 0, y2 = 0.mCD = yyxx21210402422--==-=–– (– )–Dari kedua perhitungan tersebut diperoleh mA B × mCD = 12 × –2 = –1. Jadi, garis p dan q saling tegak lurus.b. • Cari gradien garis r, yaitu: Untuk titik E(2, –3) maka x1 = 2, y1 = –3 Untuk titik F(8, 6) maka x2 = 8, y2 = 6 mEF = yyxx212163829632–(– )–-=-==khContohSoal3.11Kamu telah mengetahui sifat gradien dari dua garis yang sejajar dan saling tegak lurus. Sekarang, bagaimana dengan gradien dari dua garis yang berimpit? Diskusikanlah bersama temanmu untuk mengetahui jawabannya, kemudian laporkan hasilnya kepada gurumu.Tugas3.1
Persamaan Garis Lurus53• Mencari gradien garis s, yaitu: Untuk titik G(4, 6) maka x1 = 4, y1 = 6. Untuk titik H(0, 0) maka x2 = 0, y2 = 0.mGH = yyxx212106046432--=-=--=–Dari kedua perhitungan tersebut ternyata diperoleh mEF = mGH. Jadi, garis r dan s merupakan garis-garis yang sejajar. Garis k memiliki gradien 13. Tentukan gradien garis l jika garis tersebut:a. sejajar dengan garis k,b . tegak lurus dengan garis l.Jawab :a. Diketahui mk = 13. Jika garis l sejajar dengan garis k maka ml = mk = 13.b. Diketahui mk = 13. Jika gradien l tegak lurus dengan garis k maka mk × ml = –113 × ml = –1 ml = –1 × 31 ml = –3ContohSoal3.12Uji Kompetensi 3.2 1. Tentukanlah gradien dari persamaan garis berikut.a. y = xb. y = –5xc. 2y = 7xd. –3y = –8xe. 4y = 12x2. Tentukanlah gradien (m) dan konstanta (c) dari persamaan garis berikut. a. y = –3x + 6 b. y = 32x – 8 c. 3y = 7 + 4xd. 6y = 9x – 2e. 4y = 2x + 53. Tentukanlah gradien (m) dan konstanta (c) dari per-samaan garis berikut. a. x + 2y + 3 = 0 b. 5x – 4y – 3 = 0 c. 7x + 6y + 4 = 0d. 3x + 3y – 6 = 0e. 5x – y + 1 = 04. Tentukanlah gradien dari garis yang melalui titik-titik koordinat berikut ini. a. P(2, 6) dan Q(4, –8) b. K(–2, –5) dan L(–3, 1) c. X(0, 8) dan Y (–2, –5)d. M(9, –1) dan N(6, –8)e. A(6, 6) dan B(0, 0)Kerjakanlah soal-soal berikut.
Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII545. Perhatikan gambar bidang koordinat Cartesius di bawah ini. Tentukanlah gradien dari: a. garis k, d. garis n,b. garis l, e. garis o. c. garis m,–3–4xlok0nmy–112345–112345–2–3–4–26. Tentukan apakah garis berikut sejajar dengan sumbu-x atau sumbu-y?a. Garis p yang melalui A(8, –3) dan B(5, –3) b. Garis q yang melalui C(6, 0) dan D(–2, 0)c. Garis r yang melalui E(–1, 1) dan F(–1, 4)d. Garis s yang melalui G(0, 6) dan H(0, –3)e. Garis t yang melalui I(2, –4) dan J(–3, –4)7. Tentukan apakah pasangan garis berikut sejajar atau saling tegak lurus?a. Garis a yang melalui A(7, –3) dan B(11, 3)garis b yang melalui C(–9, 0) dan D(–5, 6)b. Garis m yang melalui P(3, 5) dan Q(0, 0)garis n yang melalui R(0, 0) dan S(–5, 3)8. Gradien garis m adalah 2. Tentukan gradien garis njika:a. garis m sejajar dengan garis n,b. garis m saling tegak lurus dengan garis n.9. Sebuah garis lurus yang memiliki gradien –58melalui titik P(–3, 2n) dan Q(5, n – 3).a. Tentukan nilai n.b. Tentukan koordinat P dan Q.c. Jika garis k sejajar dengan garis tersebut, tentukan gradien garis k.d. Jika garis l saling tegak lurus dengan garis tersebut, tentukan gradien garis l.10. Diketahui sebuah garis lurus memiliki persamaan y = 2x + 5. Tentukan apakah persamaan garis tersebut membentuk garis yang sejajar atau saling tegak lurus dengan:a. y = 2x – 8 b. 4x – 2y + 6 = 0 c. 3y = 6x – 1d. y = -12z + 9e. 7x – 14y + 2 = 0C. Menentukan Persamaan Garis Lurus Pada subbab sebelumnya, kamu telah mempelajari bagaimana menggambar persamaan garis lurus pada bidang koordinat Cartesius dan menentukan gradien dari suatu persamaan garis. Sekarang, bagaimana menentukan persamaan garis dari suatu titik atau gradien? Masih ingatkah kamu tentang gradien yang diperoleh dari perbandingan ordinat dan absis? Bentuk tersebut dapat dituliskan sebagai berikut.Gradien = ordinatabsis m = yxy = mxBentuk y = mx merupakan bentuk persamaan garis lurus sederhana. Dikatakan sebagai bentuk sederhana karena garis yang dibentuk oleh persamaan garis tersebut selalu melalui titik pusat koordinat. Untuk lebih jelasnya, perhatikan Contoh Soal 3.13
Persamaan Garis Lurus55Tentukan persamaan garis untuk garis yang melalui titik O (0, 0) dan memiliki:a. gradien 2,b. gradien –3,c. gradien 1.Jawab :a. y = mx maka y = (2)x⇒y = 2xb. y = mx maka y = (–3)x⇒y = –3xc. y = mx maka y = (1)x⇒ y = xContohSoal3.13y = mx + cAdapun bentuk umum dari persamaan garis lurus dapat dituliskan sebagai berikut. Persamaan garis ini hampir sama dengan bentuk sederhananya, namun diberi tambahan konstanta (diberi lambang c). Hal ini menunjukkan bahwa garis yang dibentuk oleh persamaan garis tersebut tidak akan melalui titik O(0, 0).Setelah kamu memahami bentuk sederhana dan bentuk umum persamaan garis, berikut ini akan diuraikan bagaimana menentukan sebuah persamaan garis dari titik koordinat atau gradien. 1. Menentukan Persamaan Garis dari Gradien dan Titik KoordinatSekarang, coba kamu perhatikan Gambar 3.1. Gambar tersebut menunjukkan sebuah garis k pada bidang koordinat Cartesius. Garis tersebut melalui titik A(x1, y1) dan tidak melalui titik pusat koordinat sehingga persamaan garis pada Gambar 3.11 dapat dituliskan:y1 = mx1 + c ....(1)Adapun bentuk umum persamaan garis yang tidak melalui titik pusat koordinat dituliskan:y = mx + c ....(2)xA(x1, y1)yk0Gambar 3.11 ]: Garis k yang melalui titik A(x, y). Persamaan garis lurus disebut juga fungsi linier.PersamaPersamaPlus +
Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII56Jika ditentukan selisih dari persamaan (2) dan persamaan (1) maka diperoleh:y = mx + cy1 = mx1 + cy – y1 = mx – mx1 + c – cy – y1 = mx – mx1y – y1 = m (x – x1)Selanjutnya diperoleh rumus umum untuk menentukan persamaan garis jika diketahui gradien dan titik koordinat, yaitu:y – y1 = m (x – x1)Untuk lebih jelasnya, coba kamu perhatikan dan pelajari Contoh Soal 3.14 dan Contoh Soal 3.15Tentukan persamaan garis yang melalui titik P(3, 5) dan memiliki gradien –2.Jawab :Untuk titik P(3, 5) maka x1 = 3, y1 = 5.Dengan menggunakan rumus umum, diperoleh persamaan garis: fiy – y1 = m (x – x1)y – 5 = –2 (x – 3)y – 5 = –2x + 6y = –2x + 6 + 5y = –2x + 11 atau 2x + y – 11 = 0Tentukan persamaan garis yang melalui: a. titik K(–2, –4) dan sejajar dengan garis 3x + y – 5 = 0,b. titik R(1, –3) dan sejajar dengan garis yang melalui titik A(4, 1) dan B(–1, 2), c. titik L(5, 1) dan tegak lurus dengan garis x –2y + 3 = 0. Jawab :a. • Langkah pertama, tentukan gradien garis 3x + y – 5 = 0. 3x + y – 5 = 0y = –3x + 5 diperoleh m = –3.• Oleh karena garis h sejajar dengan garis 3x + y – 5 = 0 maka garis h memiliki gradien yang sama, yaitu m = –3. Garis h melalui K(–2, –4) maka x1 = –2, y1 = –4.• Langkah kedua, tentukan persamaan garis h sebagai berikut ⇒y – y1 = m (x – x1)y – (–4) = –3(x – (–2))y + 4 = –3x – 6y = –3x – 6 – 4y = –3x –10 Jadi, persamaan garis h adalah y = –3x – 10 atau 3x + y + 10 = 0 ContohSoal3.14ContohSoal3.15Persamaan garis yang sejajar dengan garis2x + 3y + 6 = 0 dan melalui titik (–2, 5) adalah ....a. 3x + 2y – 4 = 0b. 3x – 2y + 16 = 0c. 3y + 2x – 11 = 0d. 3y – 2x – 19 = 0Jawab:Gradien garis2x + 3y + 6 = 0 adalah2x + 3y + 6 = 0 maka3y = 6 – 2xy = 2 – 23xJadi, gradien garis 2x + 3y + 6 = 0 adalah –23. Syarat dua garis sejajar adalah gradiennya sama. Persamaan garis yang melalui titik (–2, 5) dan bergradien –23 adalahy – y1 = m (x – x1)y – 5 = –23 (x + 2)y = –23x –43+ 53y = –2x + 11 atau 3y + 2x– 11 = 0Jadi, persamaan garis yang sejajar dengan 2x + 3y + 6 =0 dan melalui titik (–2, 5) adalah 3y + 2x – 11 = 0 Jawaban: cSoal UN, 2007SolusiMatematika
Persamaan Garis Lurus57b. • Langkah pertama, tentukan gradien garis yang melalui titik A(4, –1) dan B(–1, 2).Untuk titik A(4, –1) maka x1 = 4, y1 = –1.Untuk titik B(–1, 2) maka x2 = –1, y2 = 2.mA B = yyxx212121143535––– (– )––––===• Oleh karena garis h sejajar dengan garis yang melalui titik A dan B maka garis h yang melalui titik R (1, –3) memiliki gradien yang sama dengan garis AB yaitu m = mA B = –35. Untuk titik R(1, –3) maka x1 = 1, y1 = –3• Langkah kedua, tentukan persamaan garis h dengan rumusy – y1 = m (x – x1)y – (–3) = –35 (x – 1)y + 3 = –35x + 35y = –35x + 35 – 3y = –35x – 125 atau 35x + y + 125 = 0 atau 3x + 5y + 12 = 0Jadi, persamaan garis h adalah 3x + 5y + 12 = 0c. • Langkah pertama, tentukan gradien garis x – 2y + 3 = 0.x – 2y + 3 = 0–2y = –x – 32y = x + 3y = x+32y = 12x + 32 diperoleh m = 12.• Oleh karena h tegak lurus dengan garis x – 2y + 3 = 0 maka gradien garis h yang melalui titik L(5, 1) adalah mL .m = –1mL . (12) = –1mL= –2• Langkah kedua, tentukan persamaan garis mL = mh = gradien garis h melalui titik L(5, 1) dengan h melalui gradien m = –2. Untuk titik L(5, 1) makax1 = 5, y1 = 1.y – y1 = m (x – x1)y – 1 = –2 (x –5)y – 1 = –2x + 10y = –2x + 10 + 1y = –2x + 11 atau 2x + y – 11 = 0Jadi, persamaan garisnya h adalah y = –2x + 11 atau 2x + y – 11 = 0Diketahui garis g dengan persamaan y = 3x + 1. Garis h sejajar dengan garis gdan melalui titik A (2, 3) maka garis h mempunyai persamaan ....a. y = –13113x+b. y = –326x+c. y = 3x – 3d. y = 3x + 3 Jawab:t(radien garis y = 3x + 1 adalah 3.tGaris h sejajar dengan garis g, sehingga gradiennya sama, yaitu m = 3.tGaris h melalui titik (2, 3), sehingga persamaan garisnya: y – y1 = m (x – x1) y – 3 = 3 (x – 2) y – 3 = 3x – 6 y = 3x – 3Jawaban: cSoal UAN SLTP, 2001SolusiMatematikah
Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII582. Menentukan Persamaan Garis yang Melalui Dua TitikPada bagian sebelumnya, kamu telah mempelajari cara menentukan per-samaan garis yang melalui satu titik koordinat dan gradiennya diketahui. Sekarang, kamu akan mempelajari bagaimana menentukan persamaan garis yang melalui dua titik. Caranya hampir sama dengan rumus umum yang telah dipelajari sebelumnya.Coba kamu perhatikan uraian berikut :• y – y1 = m (x – x1) adalah rumus umum persamaan garis dari gradien dan titik koordinat. • m = yyxx2121–– adalah rumus gradien dari dua titik koordinat.Dari kedua rumus tersebut, dapat diuraikan sebagai berikuty – y1 = m (x – x1)y – y1 = yyxxxx21211––(–)y – y1 = y y xxxx21121––()()-yyyy––121= y y xxy yx x2112 12 1–––()()()-()yyyy––121= xxxx–121-Jadi, rumus untuk menentukan persamaan garis yang melalui dua titik koordinat adalahyyyy––121= xxxx–121-Untuk lebih jelasnya, coba kamu perhatikan Contoh Soal 3.16Tentukan persamaan garis yang melalui titik-titik koordinat berikut.a. A (3, 3) dan B (2, 1)b. C (–1, 4) dan D (1, 3)c. E (6, 10) dan F (–5, 2)Jawab :a. Untuk titik A (3, 3) maka x1 = 3 dan y1 = 3.Untuk titik B (2, 1) maka x2 = 2 dan y2 =1.Persamaan yang diperoleh:yyyyxxxx––––121121=yx––––313323=yx––––3231=ContohSoal3.16Persamaan garis lurus yang melalui titik (2, 1) dan(–2, –7) adalah ....a. y = –2x + 5b. y = 2x – 3c. y = 3x – 5d. y = –3x + 7Jawab:Untuk titik (2, 1) maka x1 = 2 dan y1 = 1.Untuk titik (–2, –7) maka x2= –2 dan y2 = –7.Persamaan garis dicari dengan:yyyyxxxxyxyx--=-----=-----=-121121171222182----()=- -()- + =- +- =- +=44 18 24481648122yxyxyxyxx-3Jawaban: bEBTANAS, 1996SolusiMatematika
Persamaan Garis Lurus59–1 (y – 3) = –2 (x – 3)–y + 3 = –2x + 62x – y + 3 – 6 = 02x – y – 3 = 0Jadi, persamaan garisnya adalah 2x – y – 3 = 0.b. Untuk titik C (–1, 4) maka x1 = –1 dan y1 = 4Untuk titik D (1, 3) maka x2 = 1 dan y2 = 3Persamaan garis yang diperoleh:yyyyxxxx––––121121=yx––– (– )– (– )434111=yx––4112=+2(y – 4) = – 1 (x + 1)2y – 8 = –x – 1x + 2y – 8 + 1 = 0x + 2y – 7 = 0Jadi, persamaan garisnya adalah x + 2y – 7 = 0.c. Untuk titik E (6, 10) maka x1 = 6 dan y1=10Untuk titik F(–5, 2) maka x2 = –5 dan y2 = 2Persamaan garis yang diperoleh:yyyyxxxx––––121121=yx–––––102 10656=yx––––108611=–11(y – 10) = –8 (x – 6)–11y + 110 = –8x + 488x –11y + 110 – 48 = 08x – 11y + 62 = 0Jadi, persamaan garisnya adalah 8x – 11y + 62 = 03. Menentukan Koordinat Titik Potong dari Dua Garis Lurus Coba kamu perhatikan Gambar 3.12–3–4–5xlky–101 2345–11234–2–3–4–2–3–4–5xlA(x1, y1)ky–1102 3 45–11234–2–3–4–2Gambar 3.12 : memperlihatkan(a) Garis k dan l yang sejajar (b) Garis k dan l yang ber potongan di titik A. (a)(b)Cara cepat menyele-saikan bentuk abcd=adalah dengan melakukan perkalian silang, yaitu abcdadbc=¤ =Cara cepCara cepPlus +Gambar 3.12 : Titik Potong Garis
Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII60Dengan cara grafik, tentukan titik potong antara garis 3x + y = 5 dan garis 2x –3y = 7.Jawab :ContohSoal3.17–3–4xAy–112345–112345–2–3–4–2• Garis 3x + y = 5. Untuk x = 1 maka y = 2 sehingga diperoleh titik (1, 2). Untuk x = 0, maka y = 5 sehingga diperoleh titik (0, 5).• Garis 2x –3 = 7. Untuk x = 5 maka y = 1 sehingga diperoleh titik (5, 1). Untuk x = –1 maka y =–3 sehingga diperoleh titik (–1, –3).Kemudian, gambarlah grafik dari titik-titik yang didapat tersebut.Dari gambar dapat dilihat bahwa koordinat titik potong dua garis tersebut adalah titik A (2, –1)Dari Gambar 3.12 , terdapat dua garis dalam bidang koordinat, yaitu garis k dan l. Dalam Gambar 3.12(a) , kedua garis tersebut sejajar. Adapun pada Gambar 3.12(b) , kedua garis tersebut tidak sejajar sehingga keduanya berpotongan di suatu titik, yaitu titik A (x1, y1). Jadi, koordinat titik potong dapat dicari dari dua garis yang tidak sejajar.Sekarang, bagaimana cara menentukan koordinat titik potong dari dua per-samaan garis yang diketahui? Ada dua cara yang dapat digunakan, yaitu cara menggambar (cara grafik) dan cara substitusi. Untuk itu, pelajari uraian berikut.a. Dengan cara ini, dua persamaan garis digambar ke dalam bidang koordinat Cartesius sehingga koordinat titik potong kedua garis tersebut dapat dilihat dari gambar. Perhatikan Contoh Soal 3.17. b. Cara SubstitusiDengan cara substitusi, salah satu variabel dari persamaan garis yang diketahui dimasukkan (disubstitusikan) ke dalam variabel yang sama dari persamaan garis yang lain. Untuk lebih jelasnya, perhatikan Contoh Soal 3.18.Dengan cara substitusi, tentukan koordinat titik potong antara garis 3x + y = 5 dan garis 2x – 3y = 7.Jawab :Ikuti langkah-langkah berikut.• Ambil salah satu persamaan garis, misalnya 3x + y = 5.• Tentukan salah satu variabel dari garis tersebut, misalnya y.⇒ 3x + y = 5 maka y = 5 – 3x.• Substitusikan nilai y tersebut ke dalam persamaan garis yang lain.ContohSoal3.18Apakah garis 2x – y + 3 = 0dan garis 2y – x + 3 = 0 berpotongan di satu titik? Jika ya, tentukan titik potongnyaProblematika
Persamaan Garis Lurus61⇒ 2x – 3y = 7 2x – 3(5 – 3x) = 7 2x – 15 + 9x = 7 2x + 9x = 7 + 15 11x = 22x = 2• Substitusikan nilai x ke dalam salah satu persamaan garis. ⇒ 3x + y = 5 3 (2) + y = 5 6 + y = 5y = 5 – 6y = –1• Diperoleh x = 2 dan y = –1. Jadi, koordinat titik potong kedua garis itu adalah (2, –1)1. Sebuah mobil bergerak dengan kecepatan tetap 15 km/jam. Setelah 3 jam, mobil tersebut menempuh jarak 45 km. Berapa lama waktu yang diperlukan mobil tersebut untuk menempuh jarak 90 km?2. Harga dua buah permen dan tiga buah cokelat adalah Rp800,00. Adapun harga sebuah permen dan lima buah cokelat adalah Rp1.100,00. Tentukan:a. harga sebuah permen,b. harga sebuah cokelat,c. harga 4 buah permen dan 1 buah cokelat. Jawab :1. Coba perhatikan gambar berikut. Gambar tersebut merupakan terjemahan dari soal kecepatan-jarak-waktu yang diberikan. Titik koordinat A (15, 1) merupakan kecepatan mobil, yaitu 15 km/jam. Titik koordinat B (45, 3) merupakan jarak dan waktu tempuh mobil yang diketahui, yaitu 45 km dalam waktu 3 jam.Dari titik A dan B dapat ditarik garis lurus sehingga diperoleh penyelesaian bahwa untuk menempuh jarak 90 km, mobil tersebut memerlukan waktu 6 jam.hbiContohSoal3.194. Aplikasi Persaman Garis LurusDalam kehidupan sehari-hari, banyak sekali bidang-bidang yang menggunakan aplikasi persamaan garis lurus. Misalnya, perhitungan kecepatan-jarak-waktu dalam fisika dan perhitungan harga barang dan titik impas dalam ekonomi. Coba kamu pelajari Contoh Soal 3.19.jarak (s)waktu (t)BA10 20 30 40 50 60 70 80 901234567Carilah 3 permasalahan lain yang menggunakan aplikasi persamaan garis lurus dalam kehidupan sehari-hari. Lalu, buatlah contoh kasus seperti pada Contoh Soal 3.19, dan tentukan penyelesaiannya. Laporkan hasil pekerjaanmu kepada gurumu.Tugas3.2
Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII622. Untuk menjawab soal ini, ikuti langkah-langkah berikut.• Gunakan pemisahan untuk nama benda. Misalkan: permen = x cokelat = y• Terjemahkan ke dalam model matematika. 2 permen + 3 cokelat = Rp800,00 berarti 2x + 3y = 8001 permen + 5 cokelat = Rp1100,00 berarti x + 5y = 1.100• Ambil salah satu persamaan dan ketentuan salah satu variabelnya.x + 5y = 1.100 maka x = 1.100 – 5y.• Substitusikan nilai x ke dalam persamaan yang lain 2x + 3y = 800 2 (1.100 – 5y) + 3y = 8002.200 – 10y + 3y = 8002.200 – 7y = 800–7y = 800 – 2.200–7y = –1.400y = 200• Substitusikan nilai y ke dalam salah satu persamaan.x + 5y = 1.100 x + 5 (200) = 1.100x + 1.000 = 1.100x = 1.100 – 1.000x = 100 Dengan demikian, diperoleh:a. harga sebuah permen = x = Rp100,00b. harga sebuah cokelat = y = Rp200,00c. harga 4 buah permen dan 1 buah cokelat = 4x + y = 4 (Rp100,00) + (Rp200,00) = Rp600,001. Tentukan persamaan garis yang melalui titik pusat P(0, 0) dan memiliki gradien sebagai berikut.a. m = -12b. m = – 3 c. m = 2d. m = –34e. m = 12. Tentukan persamaan garis yang melalui titikP(0, 0) dan sejajar dengan garis:a. x + y = 5 b. y = 13c. 2x – y – 6 = 0d. x + 5y – 3 = 0e. 3x – 3y – 3 = 03. Tentukan persamaan garis yang melalui titik pusat P(0, 0) dan tegak lurus dengan garis:Uji Kompetensi 3.3a. 3x + y – 4 = 0 b. y = 2x – 5 c. 3y = 2x + 1d. 5x – 6y – 1 = 0e. 2x + 4y + 6 = 04. Sebuah garis yang melalui titik A(2, 3) memiliki gradien yang sejajar dengan garis 4x + 3y – 6 = 0. Tentukan persamaan garis tersebut.5. Sebuah garis yang melalui titik B(–1, –4) memiliki gradien yang tegak lurus dengan garis y = 13x.Tentukan persamaan garis tersebut.6. Sebuah garis memiliki gradien 12. Tentukan per-samaan garis tersebut jika melalui titik:a. P(1, 1) b. Q(2, 0) c. R(0, 5)d. S(–3, 1)e. T(2, –5)Kerjakanlah soal-soal berikut.
Persamaan Garis Lurus63a–3–4xbcdey–112345–112345–2–3–4–27. Perhatikan gambar bidang koordinat Cartesius berikut ini. Tentukan:a. persamaan garis a,b. persamaan garis b,c. persamaan garis c, d. persamaan garis d,e. persamaan garis e. 8. Tentukan titik potong garis x + y = 5 dengan :a. garis 2x + y = 8, b. garis x + 3y = 3, c. garis 4x + y = 20,d. garis 2x + 4y = 6,e. garis 5x – y = 13. 9. Seorang anak bersepeda dengan kecepatan konstan 5 km/jam. Setelah menempuh 20 km selama 4 jam, anak tersebut beristirahat selama 2 jam. Kemudian, melanjutkan perjalanan kembali dengan kecepatan yang sama selama 3 jam.a. Gambarkan soal cerita tersebut ke dalam grafik.b. Tentukan total waktu yang diperlukan anak tersebut.c. Tentukan total jarak yang ditempuh anak tersebut.10. Harga tiga buku tulis dan empat buku gambar adalah Rp15.600,00. Adapun harga dua buku tulis dan tiga buku gambar adalah Rp11.400,00. Tentukan:a. harga buku tulis,b. harga buku gambar,c. harga 5 buku tulis dan 5 buku gambar. 6. Gradien garis yang sejajar dengan sumbu-x adalah nol. 7. Garis yang sejajar dengan sumbu-y tidak mempunyai gradien. 8. Garis yang saling sejajar memiliki gradien yang sama. 9. Hasil kali gradien garis yang saling tegak lurus adalah –1.10. Rumus untuk menentukan persamaan garis dari gradien dan titik koordinat, yaitu:y – y1 = m (x – x1)11. Rumus untuk menentukan persamaan garis dari dua titik koordinat, yaitu:yyyyxxxx–––121121=-1. Persamaan garis lurus adalah persamaan matematika yang jika digambarkan dalam bidang koordinat Cartesius akan membentuk sebuah garis lurus.2. Dalam koordinat Cartesius, setiap titik di nyatakan dengan pasangan terurut (x, y) di mana koordinat x disebut absis dan koordinat y disebut ordinat.3. Gradien adalah tingkat kemiringan garis. Gradien dilambangkan dengan m.4. Berbagai bentuk persamaan garis, antara lain: a. y = mx b. y = mx + c c. ax + by + c + 0 5. Gradien garis yang melalui dua titik dicari dengan rumus:m = yyxx2121––Rangkuman
Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII64Peta KonsepPersamaan Garis LurusPersamaan Garis LurusCara Menentukan Persamaan Garis LurusGradienBentuky = mxy = mx + cax + by + c = 0PerhitunganDari Gradien dan Satu Titik Koordinaty – y = m(x – x1)yyyyxxxx––121122-=-myyxx=-2121–Sifat-SifatDari Dua Titik KoordinatGradien Garis yang Sejajar Sumbu-x = 0Gradien Garis yang Sejajar adalah SamaHasil Kali Gradien Garis yang Saling Tegak Lurus adalah –1mempelajari tentangterdiri atasrumusrumusrumustPada bab Persamaan Garis Lurus ini, adakah materi yang menurutmu sulit untuk kamu pahami? Mengapa?tPada bab ini, materi-materi apa saja yang belum kamu pahami dan telah kamu pahami dengan baik?tKesan apa yang kamu dapat setelah mempelajari bab ini?
Persamaan Garis Lurus651. Sebuah titik terletak pada absis –1 dan ordinat 3. Penulisan yang benar untuk koordinat titik tersebut adalah ....a. (–1, 3) c. (1, –3)b. (3, –1) d. (–3,1)2. Perhatikan gambar bidang koordinat Cartesius berikut ini.a. A (0, 3), B (1, 4) b. C (2, 5), D (–2, 5) c. E (4, –2), F (4, 0)d. G (2, 2), H (–3, –3)9. Gradien garis yang melalui titik (3, 1) dan titik (0, 0) adalah ...a. –13c. –3 b. 13d. 310. Perhatikan gambar berikut.–3–4xDCABEy–112345–1123–2–2Dari gambar tersebut, titik yang memiliki ordinat yang sama adalah titik ....a. E dan Dc. A dan Cb. B dan D d. A dan E3. Dari gambar pada soal nomor 2, titik yang memiliki absis yang sama adalah titik ....a. E dan Dc. A dan Cb. B dan Dd. A dan E4. Berikut ini adalah titik koordinat yang dilalui oleh garis y = x + 3, kecuali ....a. A (3, 6) c. C (4, 7)b. B (–3, 0) d. D (0, –3)5. Gradien dari persamaan garis y = –12x + 6 adalah .... a. 12c. 6b. –12d. –66. Konstanta dari persamaan garis y = 2x – 3 adalah ....a. 2 c. 3b. –2 d. –37. Persamaan garis berikut yang memiliki gradien –13adalah ....a. 2x + 6y – 7 = 0 b. x – 3y + 4 = 0 c. 3x + y – 5 = 0d. 3x – y + 10 = 08. Titik-titik koordinat yang membentuk garis sejajar dengan sumbu x adalah ....–3–4xyk–112345–1123–2–2Gradien garis k adalah ....a. –12c. – 2 b. 12d. 211. Garis k adalah garis yang sejajar dengan garis l. Jika gradien l adalah –34 maka gradien garis kadalah ....a. –34c. 34b. –43d. 4312. Persamaan garis yang melalui titik A (–1, 0) dan B(3, –8) adalah ....a. y = 2x + 2 c. y = –2x + 2b. y = 2x – 2 d. y = –2x – 213. Garis a dan garis b adalah dua garis yang saling tegak lurus. Jika gradien garis a adalah – 3 maka gradien b adalah ....a. –13c. – 3b. 13d. 3Uji Kompetensi Bab 3A. Pilihlah satu jawaban yang benar.
Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII6614. Sebuah garis memiliki gradien 3 dan melalui titik (–2, 1). Persamaan garis tersebut adalah ....a. 3x + y + 7 = 0 b. 3x – y + 7 = 0 c. 3x – y – 7 = 0d. 3x + y – 7 = 015. Titik koordinat A(2, 1) dan B(–2, –7) dapat mem bentuk suatu garis lurus yang memiliki per-samaan ....a. y = 3x – 2 c. y = 3x + 2b. y = 2x + 3 d. y = 2x – 316. Persamaan garis yang sejajar dengan garis y = 2x +1 dan melalui titik (3, 0) adalah ....a. y = –2x – 6 c. y = 2x – 6b. y = –2x + 6 d. y = 2x + 617. Persamaan garis yang tegak lurus dengan garis y = 13x – 6 dan melalui titik (2, –1) adalah ....a. y = 3x + 5 c. y = –3x + 5b. y = 3x – 5 d. y = –3x –518. Garis y = –12x + 3 akan tegak lurus dengan garis ....a. y = 12x – 6 b. y = –12x + 6 c. y = 2x + 12d. y = –2x – 519. Gambar yang tepat untuk persamaan garis 2x + y = 6 adalah ....a. c.b. d. yx36yx46yx64yx63B. Kerjakanlah soal-soal berikut1. Perhatikan gambar bidang koordinat Cartesius berikut ini.20. Koordinat titik potong garis 2x + 3y = 11 dan garis x – 2y = 2 adalah ....a. (–1, –4) c. (–4, –1)b. (1, 4) d. (4, 1)–3–4xkmABCDly–112345–112345–2–3–4–2Dari gambar tersebut, tentukanlah:a. titik koordinat A, B, C, dan D,b. gradien garis k, l, dan m,c. persamaan garis k, l, dan m,2. Tentukanlah gradien dari persamaan-persamaan garis berikut, kemudian gambarlah pada bidang koordinat Cartesius.a. 6x – 3y – 1 = 0 d. –x – 2x + 1 = 0b. 3x + y – 2 = 0 e. x + y – 2 = 0c. x + 2y + 4 = 03. Buatlah persamaan garis dari data berikut ini.a. Titik A(2, –5) dan gradien m = –1.b. Titik B(1, 4) dan titik C(3, 2).c. Titik D(–3, –4) dan titik pusat koordinat.d. Gradien m = –2 dan titik pusat koordinat.e. gradien m = 13 dan titik E(4, 0).4. Tentukanlah koordinat titik potong dari persamaan garis berikut.a. 2x – 3y = 4 dan x + y = 5b. x – 5y = 2 dan 3x – 2y = 4c. 4x – y = 12 dan 7x + 3y = 5d. 2x – 3y = 9 dan 3x + 2y = 6e. 3x + y = 4 dan 4x + 2y = 85. Harga 1 kg beras dan 4 kg terigu adalah Rp18.000,00. Sedangkan harga 2 kg beras dan 2 kg terigu adalah Rp15.000,00. Hitunglah:a. harga 1 kg beras,b. harga 1 kg terigu,c. harga 4 kg beras dan 5 kg terigu.